1. 引言
体育运动是现代人类生活中的重要组成部分，体育比赛的激烈性和挑战性也常常吸引人们积极参与。为了提高体育比赛成绩，发掘人体潜能，科学家会运用统计学、数学、物理学等各种学科知识对体育运动展开科学研究，从中也产生了众多有意义的数学问题。
大部分体育比赛参与的运动员都不会太多，但是马拉松和铁人三项等体育运动是特例，参与者可达成千上万，业余者和专业运动员可同台竞技，因此这两项运动特别能吸引广大群众积极参加。正因为马拉松比赛中的运动员人数众多，所以运动员的运动速度或比赛时间可当作随机变量来处理，然后就可以采用统计方法来研究马拉松比赛中的问题。统计分析的基础是要知道随机变量的概率分布，通常由实验数据或经验假设给出。由于正态分布是常见的经典分布之一，因此正态分布假设在体育运动统计分析中得到广泛应用 [1] [2] [3] 。
由于正态分布比较常见，因此当通过初步统计发现实验数据的统计图形近似于钟形对称时，就会轻易地认为相应的随机变量服从正态分布，但是真实情况未必如此。本文以文献 [3] 的研究作为基础，对马拉松运动员的速度和比赛时间的概率分布开展了研究。
文献 [3] 研究了马拉松比赛途径上设置水站的优化问题。所谓水站优化问题，是对不同水站要储备多少饮用水进行估算，使得不同时间到达水站的运动员都能拿到合适的饮用水。显然，要解决水站优化问题，首先就必须估算出不同时间段到达某个水站的人数，然后才能估算出水站应该储备多少饮用水。这就涉及到到达时间的概率分布问题。文献 [3] 的方法是，将运动员通过某一水站的时间作为独立同分布随机变量，通过每隔15分钟统计到达水站的运动员人数，绘出直方图(见图1，该图给出了18 km位置和31 km位置两个水站的统计数据直方图)，并由此认为根据中心极限定理，流量(某一时间段内跑过该站的总人数)应该服从正态分布，见式(1)。
f
(
t
)
=
1
σ
2
π
exp
[
−
(
t
−
μ
)
2
2
σ
2
]
(1)
然后文献 [3] 在假设所有运动员的速度是匀速的条件下，得到了跑过位于 位置水站的人员流量密度函数：
f
(
t
)
=
K
(
x
)
σ
(
x
)
2
π
exp
[
−
(
t
−
x
/
v
)
2
2
σ
2
(
x
)
]
(2)
Figure 1. Histogram of flows for 18 km and 31 km (cited from [3] )
图1. 18 km和31 km流量图(引自文献 [3] )
其中
K
(
x
)
为跑过
x
水站的总人数，
v
为平均速度。
在式(1)和(2)基础上，文献 [3] 建立了水站优化配置的数学模型并用计算机求得了优化解。
然而，本文通过简单的定性分析发现，在运动员速度
v
为匀速的条件下，跑过
x
水站的人员概率密度函数不太可能是正态分布。由于运动员的速度是有上下限的，设运动员的最大可能速度为
v
max
，则运动员的平均速度在理论上的取值范围为
v
∈
(
0
,
v
max
)
，从而运动员从出发点0跑到
x
水站的时间为
t
=
x
v
(3)
因此时间
t
的取值范围为
t
∈
(
x
/
v
max
,
+
∞
)
。
从上述取值范围就可看出，时间 在左边是有限值，而在右边可取到无穷，两边并不对称，据此可推测时间 的概率密度函数
f
(
t
)
必然是非对称图形(见图2)，因此
f
(
t
)
不太可能是正态分布(因为正态分布是对称的)，也就是说，用式(1)作为时间 的概率密度函数是不准确的。
文献 [3] 出现这种假设的根本原因在于统计数据时忽略了速度比较慢的选手人数，即忽略了统计图形右边部分拖延到无穷但是数值较小的部分(见图2右边虚线的右侧部分)，于是认为剩下的是对称的正态分布图形。
虽然
f
(
t
)
不可能是对称的正态分布，但注意到运动员的速度
v
也是一个随机变量，其取值范围为
v
∈
(
0
,
v
max
)
，上下限都是有限值，因此以速度
v
为统计标准的概率密度函数
f
(
v
)
倒是有可能相对中间值对称，即速度
v
可能服从正态分布。为了验证这一点，通过从网上收集真实马拉松比赛的数据，对上述猜测进行了分析与检验。
2. 比赛数据的统计分析
为了验证上节的猜想，本文从中国田径协会官方网站 [4] 上获取了2013年重庆国际马拉松赛成绩表中给出的数据，考虑到运动员参加并完成半程马拉松更具有随机性(能跑完全程马拉松的运动员大都进行过专门训练)，因此我们选择其中的男子半程马拉松的成绩来进行统计，这样在去掉其中的专业运动员人数后，剩余总人数为K = 1521人。对通过x = 5 km和x = 10 km水站的时间和速度的频率分布分别进行了统计，其中速度
v
=
x
/
t
可由式(3)计算得到。利用Matlab中的函数hist绘制出相应的频率直方图，分别见图3和图4。其中图3(a)的横坐标表示时间，纵坐标表示频率，即某段时间段内到达的人数
n
与总人数
K
之比
f
(
t
)
≈
n
/
K
，图3(b)及后面各图中横纵坐标的含义与此类似。
从图3和图4均可看出，反映时间分布的(a)图确实类似于图2中的右偏图形，而反映速度分布的(b)图更近似于对称的正态分布图形。
Figure 2. Diagrammatic sketch of the probability density function
f
( t )
图2. 概率密度函数
f
(
t
)
的示意图
Figure 3. Frequency histogram for x = 5 km water station
图3. x = 5 km水站处的频率直方图
Figure 4. Frequency histogram for x = 10 km water station
图4. x = 10 km水站处的频率直方图
为了进一步验证上述结论，本文采用了美国数学及其应用联合会网站 [5] 上2016年美国高中生数学建模竞赛(HiMCM)的Problem A提供的近期某铁人三项比赛的成绩表，选择其中的MOpen选手的游泳比赛成绩进行统计(总人数为2147人)，得到的时间分布和速度分布直方图见图5。从图5可得出类似的结果，即速度分布更接近对称的正态分布图形，而时间分布是右偏的图形。
Figure 5. Frequency histogram of the swimming results
图5. 游泳比赛成绩的频率直方图
综上所述，本文认为用正态分布来描述运动员的速度分布更为合理，进而可由速度分布推导出相应的时间分布。
3. 速度的概率密度函数
根据上一节的分析，设运动员的速度分布为正态分布，即有
f
(
v
)
=
1
σ
2
π
exp
[
−
(
v
−
μ
)
2
2
σ
2
]
=
N
(
μ
,
σ
2
)
(4)
其中期望值
μ
和标准差
σ
可分别按下述式(5)和式(6)来估计
μ
=
v
¯
=
v
1
+
v
2
+
,
⋯
,
+
v
K
K
(5)
σ
=
s
t
d
(
v
)
=
(
v
1
−
v
¯
)
2
+
(
v
2
−
v
¯
)
2
+
,
⋯
,
+
(
v
K
−
v
¯
)
2
K
−
1
(6)
以前述马拉松赛到达=10 km水站的速度分布(见图4)和铁人三项中游泳比赛的速度分布(见图5)为例，发现它们分别与
N
(
1.99
,
2.42
)
和
N
(
3.97
,
0.45
)
的正态分布符合得很好，见图6。
4. 时间的概率密度函数
根据前面的讨论，时间与速度存在关系式
t
=
x
/
v
，因此时间
t
的概率密度函数可以从速度
v
的概率密度函数公式(4)推导出来。这里需要利用如下的随机变量的函数的分布定理 [6] ：
定理：设
X
是连续随机变量，具有概率密度函数
f
X
(
x
)
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
。
Y
=
g
(
X
)
是另一随机变量。若
y
=
g
(
x
)
严格单调，其反函
h
(
y
)
数有连续导函数，则
Y
=
g
(
X
)
的概率密度函数为
f
Y
(
y
)
=
{
f
X
[
h
(
y
)
]
|
h
′
(
y
)
|
,
y
∈
(
a
,
b
)
0
,
其
他
(7)
其中
a
=
min
{
g
(
−
∞
)
,
g
(
+
∞
)
}
，
b
=
max
{
g
(
−
∞
)
,
g
(
+
∞
)
}
。
在本文所讨论的问题中，随机变量
t
=
x
/
v
，因此由上述定理及式(4)可得时间
t
的概率密度函数为
f
(
t
)
=
x
/
(
μ
t
)
(
t
σ
/
μ
)
2
π
exp
[
−
(
t
−
x
/
μ
)
2
2
(
t
σ
/
μ
)
2
]
=
x
/
(
μ
t
)
⋅
N
(
x
/
μ
,
(
t
σ
/
μ
)
2
)
(8)
其中的参数
μ
和
σ
可分别按式(5)和(6)估算。
时间
t
的概率密度函数式
f
(
t
)
在形式上可写成一个变参数的类正态分布函数
N
(
x
/
μ
,
(
t
σ
/
μ
)
2
)
与
x
/
(
μ
t
)
的乘积，但它却不是常规的正态分布函数，其图形是不对称的。由式(8)及图6中马拉松赛和游泳比赛的速度分布，分别计算出相应的时间分布并与图4和图5的时间分布频率直方图中的数据进行对比，相应结果见图7。从图中可看出，运动员比赛时间的统计数据与式(8)的计算结果非常吻合。
5. 结论
本文基于若干马拉松赛及铁人三项比赛运动员的成绩表，对相应赛事中运动员的速度分布以及到达赛程中固定点的时间分布进行了分析，从数据统计和理论建模两方面，均证明了运动员的速度分布接近于正态分布，但到达固定点(比如终点)的时间分布并不是正态分布，而是一种变参数的右偏的类正态分布
Figure 6. Comparison of normal probability density function and frequency histogram of speed
图6. 速度的正态分布密度函数与频率直方图的比较
Figure 7. Comparison of normal-like probability density function and frequency histogram of time
图7. 时间的类正态分布密度函数与频率直方图的比较
分布。本文推导了这种时间分布的概率密度函数，给出了其理论表达式。需要注意的是，即使在大样本条件下，时间的非对称分布也不可能趋向正态分布，这与大数定律或中心极限定理无关。该结论可用于其他类似运动比赛中的数学建模或管理优化，也可用于交通流的研究。